Hallo teman-teman semua! Kali ini admin akan membahas tentang contoh soal nilai maksimum dan minimum. Nilai maksimum dan minimum sering kali muncul dalam matematika, terutama ketika kita membahas tentang fungsi. Nilai maksimum dan minimum ini dapat memberikan kita informasi penting tentang sifat-sifat grafik fungsi yang sedang kita bahas. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami konsep nilai maksimum dan minimum ini dengan baik. Yuk, simak penjelasannya di bawah ini!
Apa Itu Nilai Maksimum dan Minimum?
Sebelum kita membahas contoh soalnya, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu apa itu nilai maksimum dan minimum. Nilai maksimum dan minimum adalah nilai tertinggi dan terendah yang dapat dicapai oleh suatu fungsi dalam suatu interval tertentu. Nilai maksimum adalah nilai yang paling tinggi, sedangkan nilai minimum adalah nilai yang paling rendah.
Contoh Soal Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh Soal 1
Diketahui fungsi f(x) = x^2 – 4x + 5. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.
Penyelesaian:
- Untuk mencari nilai maksimum atau minimum, kita perlu mencari titik stasioner (titik di mana turunan fungsi sama dengan nol).
- Turunan fungsi f(x) adalah f'(x) = 2x – 4.
- Untuk mencari titik stasioner, kita perlu mencari nilai x yang membuat f'(x) = 0.
- f'(x) = 0
2x – 4 = 0
x = 2 - Titik stasioner pada x = 2 adalah (2, 1).
- Untuk menentukan apakah (2, 1) adalah nilai maksimum atau minimum, kita perlu melihat tanda turunan sebelum dan sesudah titik stasioner.
- Untuk x < 2, f'(x) < 0, sehingga grafik berada di atas titik stasioner (2, 1).
- Untuk x > 2, f'(x) > 0, sehingga grafik berada di bawah titik stasioner (2, 1).
- Jadi, (2, 1) adalah nilai minimum dari fungsi f(x).
Contoh Soal 2
Diketahui fungsi g(x) = 3x^3 – 4x^2 + 2x – 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi tersebut pada interval [-1, 2].
Penyelesaian:
- Untuk mencari nilai maksimum atau minimum pada interval tertentu, kita perlu mencari titik stasioner dan ujung interval.
- Turunan fungsi g(x) adalah g'(x) = 9x^2 – 8x + 2.
- Untuk mencari titik stasioner, kita perlu mencari nilai x yang membuat g'(x) = 0.
- g'(x) = 0
9x^2 – 8x + 2 = 0
x = 2/3 atau x = 2/3 - Titik stasioner pada x = 2/3 adalah (2/3, 2/27).
- Ujung interval pada x = -1 dan x = 2.
- Untuk menentukan apakah titik stasioner dan ujung interval adalah nilai maksimum atau minimum, kita perlu melihat tanda turunan sebelum dan sesudah titik stasioner dan ujung interval.
- Untuk x < -1, g'(x) < 0, sehingga grafik berada di atas ujung interval (-1, g(-1)).
- Untuk -1 < x < 2/3, g'(x) > 0, sehingga grafik berada di bawah titik stasioner (2/3, 2/27).
- Untuk x > 2/3, g'(x) > 0, sehingga grafik berada di atas titik stasioner (2/3, 2/27) dan di bawah ujung interval (2, g(2)).
- Jadi, nilai minimum dari fungsi g(x) pada interval [-1, 2] adalah (2/3, 2/27) dan nilai maksimumnya adalah (2, 11).
Kesimpulan
Setelah memahami konsep nilai maksimum dan minimum serta melihat contoh soal di atas, kita dapat mengetahui bagaimana cara mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Dalam hal ini, kita perlu mencari titik stasioner dan melihat tanda turunan sebelum dan sesudah titik stasioner. Dengan mengetahui nilai maksimum dan minimum, kita dapat mengetahui sifat-sifat grafik fungsi yang sedang kita bahas.
FAQ
1. Apa itu titik stasioner?
Titik stasioner adalah titik di mana turunan fungsi sama dengan nol.
2. Apa arti dari nilai maksimum dan minimum?
Nilai maksimum adalah nilai tertinggi yang dapat dicapai oleh suatu fungsi dalam suatu interval tertentu, sedangkan nilai minimum adalah nilai terendah yang dapat dicapai oleh suatu fungsi dalam suatu interval tertentu.
3. Apa saja yang perlu diperhatikan saat mencari nilai maksimum dan minimum?
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum, kita perlu mencari titik stasioner dan melihat tanda turunan sebelum dan sesudah titik stasioner.
4. Apa manfaat dari mengetahui nilai maksimum dan minimum suatu fungsi?
Dengan mengetahui nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, kita dapat mengetahui sifat-sifat grafik fungsi yang sedang kita bahas.
Sekian artikel tentang contoh soal nilai maksimum dan minimum kali ini. Semoga dapat bermanfaat untuk teman-teman semua. Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya!