Hallo Teman-Teman Semua! Kali ini admin akan memberikan contoh soal olimpiade matematika SMP yang bisa membantu kamu untuk belajar dan mempersiapkan diri menghadapi olimpiade matematika. Soal-soal ini diambil dari beberapa sumber terpercaya dan dapat digunakan sebagai latihan untuk meningkatkan kemampuan matematika kamu. Mari kita mulai!
Soal Bilangan
Berikut adalah contoh soal bilangan:
- Jika 3a + 2b = 7 dan 2a + 3b = 8, maka a + b = …
- Jika a^2 + b^2 = 29 dan ab = 12, maka a + b = …
Penjelasan:
Soal pertama dapat diselesaikan dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3, lalu mengurangkan hasilnya. Sehingga diperoleh:
6a + 4b = 14
6a + 9b = 24
-5b = -10
b = 2
Substitusikan b ke persamaan pertama, maka diperoleh:
3a + 4 = 7
a = 1
Jadi, a + b = 1 + 2 = 3
Untuk soal kedua, kita dapat mencari nilai a dan b dengan menggunakan persamaan kuadrat. Dari persamaan ab = 12, kita dapat mencari salah satu nilai, misalnya a = 12/b. Substitusikan ke persamaan pertama, maka diperoleh:
(12/b)^2 + b^2 = 29
144/b^2 + b^2 = 29
b^4 – 29b^2 + 144 = 0
Dari sini dapat dicari nilai b, lalu substitusikan ke persamaan a = 12/b. Akhirnya, kita dapat mencari nilai a + b.
Soal Geometri
Berikut adalah contoh soal geometri:
- Diketahui segitiga ABC dengan AB = AC. Pada sisi AB dibangun segitiga ADE sedemikian sehingga BD = DC dan sudut EDC = 30 derajat. Jika sudut BAC = 60 derajat, maka sudut BED = …
- Diketahui JKL segitiga sama sisi dengan sisi panjang 10 cm. Jika M dan N adalah titik di sisi JK dan KL masing-masing, sehingga JN dan KM saling tegak lurus, maka MN = …
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi BD atau DC. Setelah itu, dapat dicari sudut EBD atau EDC dengan menggunakan aturan sinus lagi. Akhirnya, kita dapat mencari sudut BED dengan menjumlahkan kedua sudut tersebut.
Untuk soal kedua, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi JM atau JN. Setelah itu, dapat dicari panjang sisi MN dengan menggunakan teorema Pythagoras lagi. Akhirnya, kita dapat menghitung keliling segitiga JKL.
Soal Trigonometri
Berikut adalah contoh soal trigonometri:
- Diketahui sin x = 0,6. Tentukan nilai dari cos x dan tan x.
- Diketahui sin x = 0,5. Tentukan nilai dari cos 2x.
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan identitas Pythagoras untuk menentukan nilai cos x, yaitu:
cos x = sqrt(1 – sin^2 x) = sqrt(1 – 0,6^2) = 0,8
Untuk menentukan nilai tan x, kita dapat menggunakan definisi tan x, yaitu:
tan x = sin x / cos x = 0,6 / 0,8 = 0,75
Pada soal kedua, kita dapat menggunakan identitas trigonometri, yaitu:
cos 2x = 2 cos^2 x – 1 = 2(1 – sin^2 x) – 1 = 1 – 2 sin^2 x = 1 – 2(0,5^2) = 0,5
Soal Statistika
Berikut adalah contoh soal statistika:
- Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa. Jumlah nilai ulangan matematika mereka adalah 1200. Jika nilai rata-rata adalah 40, maka berapa siswa yang mendapat nilai di atas rata-rata?
- Dalam sebuah kelas terdapat 10 siswa. Nilai ujian matematikanya adalah sebagai berikut: 60, 70, 75, 80, 85, 90, 90, 90, 95, dan 100. Hitunglah mean, median, dan modus dari data tersebut.
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan konsep nilai rata-rata untuk menentukan total nilai yang harus diperoleh oleh siswa yang mendapat nilai di atas rata-rata. Total nilai tersebut dapat dicari dengan mengalikan nilai rata-rata dengan jumlah siswa, yaitu:
Total nilai di atas rata-rata = (Jumlah siswa – Jumlah siswa yang mendapat nilai di bawah rata-rata) x Rata-rata
1200 – 30 x 40 = 300
Jadi, ada 7 siswa yang mendapat nilai di atas rata-rata.
Pada soal kedua, kita dapat membentuk tabel frekuensi untuk data tersebut, yaitu:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 60 | 1 |
| 70 | 1 |
| 75 | 1 |
| 80 | 1 |
| 85 | 1 |
| 90 | 3 |
| 95 | 1 |
| 100 | 1 |
Mean dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Mean = Jumlah nilai / Jumlah siswa = 805 / 10 = 80,5
Median merupakan nilai tengah dari data tersebut, yaitu 85.
Modus merupakan nilai yang paling sering muncul, yaitu 90.
Soal Logika
Berikut adalah contoh soal logika:
- Andi diberi uang saku setiap minggu. Jika Andi mendapat Rp100.000 setiap dua minggu sekali, berapa jumlah uang saku yang diterimanya setiap minggu?
- Ada empat orang A, B, C, dan D. Masing-masing memiliki warna favorit yaitu merah, hijau, biru, dan kuning. Mereka duduk di empat kursi yang menghadap ke arah yang sama. Kursi pertama diisi oleh A dan kursi terakhir diisi oleh B. C duduk di kursi di antara A dan B. Siapa yang duduk di kursi kedua?
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan logika sederhana untuk menentukan jumlah uang saku yang diterima Andi setiap minggu. Jika Andi mendapat Rp100.000 setiap dua minggu sekali, maka ia mendapat Rp50.000 setiap minggu.
Pada soal kedua, kita dapat menggunakan logika deduktif untuk menentukan urutan duduk dari keempat orang tersebut. Karena A dan B sudah diketahui tempat duduknya, maka C pasti duduk di kursi kedua. Sisanya, D duduk di kursi ketiga dan E duduk di kursi keempat.
Soal Matematika Diskrit
Berikut adalah contoh soal matematika diskrit:
- Ada 6 orang di dalam sebuah lift. Berapa banyak kemungkinan lantai yang akan mereka tuju jika lift tersebut dapat berhenti di 10 lantai yang berbeda?
- Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis produk. Setiap produk dapat dihasilkan dengan 3 jenis mesin. Berapa banyak kemungkinan kombinasi produksi yang dapat dibuat?
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan konsep pemangkatan untuk menentukan jumlah kemungkinan lantai yang akan dikunjungi oleh 6 orang tersebut, yaitu:
Jumlah kemungkinan lantai = 10^6 = 1.000.000
Pada soal kedua, kita dapat menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan jumlah kemungkinan kombinasi produksi, yaitu:
Jumlah kemungkinan kombinasi produksi = C(3,1) x C(3,1) x C(3,1) = 3^3 = 27
Soal Aljabar
Berikut adalah contoh soal aljabar:
- Jika x + y = 10 dan xy = 21, maka x^2 + y^2 = …
- Hitung nilai dari (1 + x)^4 – 4x – 1 jika x = 1/4.
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan identitas Newton untuk menentukan nilai dari x^2 + y^2, yaitu:
x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = 100 – 42 = 58
Pada soal kedua, kita dapat mengganti nilai x yang diberikan ke dalam rumus yang diberikan, yaitu:
(1 + x)^4 – 4x – 1 = (1 + 1/4)^4 – 4(1/4) – 1 = 625/256 – 1 – 1 = 369/256
Soal Peluang
Berikut adalah contoh soal peluang:
- Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Jika satu bola diambil secara acak, maka berapa peluangnya bola tersebut adalah bola putih?
- Seorang penulis akan memilih acak 3 kata dari kamus. Kamus tersebut terdiri dari 100.000 kata. Berapa peluang bahwa ketiga kata tersebut akan dimulai dengan huruf “A”?
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat menggunakan konsep probabilitas untuk menentukan peluangnya bola tersebut adalah bola putih, yaitu:
Peluang bola putih = Jumlah bola putih / Jumlah bola di kantong = 4 / 6 = 2/3
Pada soal kedua, kita dapat menggunakan konsep kombinasi untuk menentukan jumlah kemungkinan kata yang dimulai dengan huruf “A”, yaitu:
Jumlah kata yang dimulai dengan huruf “A” = C(26,1) x C(100000-26,2) = 25 x 4.999.975 x 4.999.974 = 624962812500
Peluang ketiga kata tersebut dimulai dengan huruf “A” = Jumlah kata yang dimulai dengan huruf “A” / Jumlah kemungkinan kata = 624962812500 / (100000 x 99999 x 99998) = 0,0078
Soal Fungsi
Berikut adalah contoh soal fungsi:
- Jika f(x) = 2x – 1, tentukan nilai dari f(3) + f(-2).
- Jika f(x) = x^2 – 4x + 5, tentukan nilai minimum dari f(x).
Penjelasan:
Pada soal pertama, kita dapat mengganti nilai x yang diberikan ke dalam rumus f(x), yaitu:
f(3) + f(-2) = 2(3) – 1 + 2(-2) – 1 = 1
Pada soal kedua, kita dapat menggunakan konsep turunan untuk mencari nilai minimum dari f(x), yaitu:
f'(x) = 2x – 4
f'(x) = 0 jika x = 2
Nilai minimum dari f(x) terjadi saat x = 2, yaitu:
f(2) = 2^2 – 4(2) + 5 = 1
Soal Matriks
Berikut adalah contoh soal matriks:
- Diketahui matriks A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]. Hitunglah nilai determinan dari matriks A.
- Diketahui matriks B = [2 5; 3