Hallo teman-teman semua! Kali ini admin akan membahas tentang contoh soal merasionalkan penyebut. Bagi yang belum tahu, merasionalkan penyebut adalah sebuah teknik dalam matematika untuk membuat penyebut suatu pecahan menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk dipahami dan dioperasikan. Teknik ini sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti dalam perhitungan pecahan, persamaan, dan sebagainya. Berikut ini admin akan memberikan beberapa contoh soal merasionalkan penyebut beserta penjelasannya. Yuk simak!
Contoh Soal Merasionalkan Penyebut Polinomial
Pertama-tama, admin akan memberikan contoh soal merasionalkan penyebut polinomial. Polinomial adalah suatu fungsi matematika yang terdiri dari beberapa suku berpangkat. Nah, pada contoh soal kali ini kita akan merasionalkan penyebut polinomial sebagai berikut:
$$frac{5}{x+3} + frac{3}{x+2} – frac{2}{x+1}$$
Penjelasan:
Untuk merasionalkan penyebut pada pecahan di atas, kita perlu mencari LCM (Least Common Multiple) dari $(x+3)$, $(x+2)$, dan $(x+1)$. LCM adalah bilangan terkecil yang dapat membagi habis ketiga penyebut tersebut.
LCM dari $(x+3)$, $(x+2)$, dan $(x+1)$ adalah $(x+3)(x+2)(x+1)$.
Kemudian, kita perlu membagi tiap penyebut dengan LCM tersebut dan mengalikan dengan pembilang yang sesuai. Setelah itu, kita dapat menambahkan pecahan tersebut dan menyederhanakan jika memungkinkan. Perhatikan langkah-langkah berikut:
- $$frac{5}{x+3} = frac{5(x+2)(x+1)}{(x+3)(x+2)(x+1)}$$
- $$frac{3}{x+2} = frac{3(x+3)(x+1)}{(x+3)(x+2)(x+1)}$$
- $$frac{2}{x+1} = frac{2(x+3)(x+2)}{(x+3)(x+2)(x+1)}$$
- $$frac{5(x+2)(x+1)}{(x+3)(x+2)(x+1)} + frac{3(x+3)(x+1)}{(x+3)(x+2)(x+1)} – frac{2(x+3)(x+2)}{(x+3)(x+2)(x+1)}$$
- $$frac{5x^2 + 17x + 12}{(x+3)(x+2)(x+1)}$$
Dengan demikian, hasil akhir dari merasionalkan penyebut pada pecahan di atas adalah $frac{5x^2 + 17x + 12}{(x+3)(x+2)(x+1)}$.
Contoh Soal Merasionalkan Penyebut Akar
Selanjutnya, admin akan memberikan contoh soal merasionalkan penyebut akar. Pada contoh soal ini, kita akan merasionalkan penyebut pada pecahan sebagai berikut:
$$frac{1}{sqrt{5} – 2}$$
Penjelasan:
Untuk merasionalkan penyebut pada pecahan di atas, kita perlu menghilangkan akar pada penyebut. Caranya adalah dengan mengalikan baik penyebut maupun pembilang dengan konjugat dari akar tersebut, yaitu $sqrt{5} + 2$. Perhatikan langkah-langkah berikut:
- $$frac{1}{sqrt{5} – 2} times frac{sqrt{5} + 2}{sqrt{5} + 2}$$
- $$frac{sqrt{5} + 2}{5 – 4}$$
- $$frac{sqrt{5} + 2}{1}$$
Dengan demikian, hasil akhir dari merasionalkan penyebut pada pecahan di atas adalah $sqrt{5} + 2$.
Contoh Soal Merasionalkan Penyebut Eksponensial
Terakhir, admin akan memberikan contoh soal merasionalkan penyebut eksponensial. Pada contoh soal ini, kita akan merasionalkan penyebut pada pecahan sebagai berikut:
$$frac{1}{e^x – 1}$$
Penjelasan:
Untuk merasionalkan penyebut pada pecahan di atas, kita perlu mengganti eksponensial dengan variabel. Caranya adalah dengan mengalikan baik penyebut maupun pembilang dengan $e^{-x}$. Perhatikan langkah-langkah berikut:
- $$frac{1}{e^x – 1} times frac{e^{-x}}{e^{-x}}$$
- $$frac{e^{-x}}{e^x e^{-x} – 1 e^{-x}}$$
- $$frac{e^{-x}}{1 – e^{-x}}$$
Dengan demikian, hasil akhir dari merasionalkan penyebut pada pecahan di atas adalah $frac{e^{-x}}{1 – e^{-x}}$.
Kesimpulan
Merasionalkan penyebut adalah teknik yang berguna dalam matematika untuk membuat penyebut suatu pecahan menjadi lebih sederhana sehingga mudah untuk dipahami dan dioperasikan. Melalui contoh-contoh soal di atas, kita dapat memahami bagaimana cara merasionalkan penyebut pada pecahan yang berbeda-beda jenisnya. Selain itu, kita juga dapat melihat bahwa merasionalkan penyebut dapat dilakukan dengan berbagai cara, tergantung pada jenis penyebut yang ada. Oleh karena itu, sangat penting bagi kita untuk menguasai teknik ini agar dapat lebih mudah menyelesaikan masalah matematika yang melibatkan pecahan.
FAQ
1. Apa itu LCM?
LCM adalah singkatan dari Least Common Multiple, yaitu bilangan terkecil yang dapat membagi habis dua atau lebih bilangan.
2. Bagaimana cara merasionalkan penyebut pada pecahan polinomial?
Untuk merasionalkan penyebut pada pecahan polinomial, kita perlu mencari LCM dari penyebut tersebut, membagi tiap penyebut dengan LCM tersebut, dan mengalikan dengan pembilang yang sesuai. Setelah itu, kita dapat menambahkan pecahan tersebut dan menyederhanakan jika memungkinkan.
3. Apa yang harus dilakukan jika penyebut mengandung akar?
Jika penyebut mengandung akar, kita perlu menghilangkan akar pada penyebut dengan mengalikan baik penyebut maupun pembilang dengan konjugat dari akar tersebut.
4. Bagaimana cara merasionalkan penyebut pada pecahan eksponensial?
Untuk merasionalkan penyebut pada pecahan eksponensial, kita perlu mengganti eksponensial dengan variabel dengan mengalikan baik penyebut maupun pembilang dengan $e^{-x}$.
Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya!