Contoh Soal Deret Fourier dan Penyelesaiannya

Hallo teman-teman semua! Kembali lagi bersama admin di artikel kali ini kita akan membahas tentang contoh soal deret Fourier dan penyelesaiannya. Sebelum kita mulai, apa sih yang dimaksud dengan deret Fourier?

Pengertian Deret Fourier

Deret Fourier merupakan representasi fungsi periodik tertentu sebagai jumlah atau kombinasi tak hingga sinus dan kosinus. Dalam matematika, deret Fourier sangat berguna dalam menyelesaikan masalah pada bidang matematika terapan seperti fisika, teknik, dan sains. Deret Fourier pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier pada tahun 1822.

Contoh Soal Deret Fourier

Berikut adalah contoh soal deret Fourier:

Diberikan sebuah fungsi periodik f(x) dengan periode 2π yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x) = x, 0 ≤ x < π

f(x + π) = f(x), -π ≤ x < 0

Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x)!

Penyelesaian

Langkah-langkah penyelesaian dari contoh soal deret Fourier adalah sebagai berikut:

1. Cari koefisien an
2. Cari koefisien bn
3. Hitung deret Fourier

1. Cari Koefisien an

Koefisien an dapat dicari menggunakan rumus:

an = (1/π) ∫_-π^π f(x) cos(nx) dx

Substitusikan f(x) ke dalam rumus:

an = (1/π) ∫_-π^π x cos(nx) dx

Integralkan dengan menggunakan integrasi per-partes:

an = (1/π) [(x sin(nx))|_-π^π – ∫_-π^π sin(nx) dx]

Karena sin(nx) adalah fungsi ganjil, maka:

an = (1/π) [(x sin(nx))|_-π^π]

Diketahui pada saat x = -π dan x = π, maka:

an = (1/π) [(-π sin(nπ)) – (-π sin(-nπ))] = 0

2. Cari Koefisien bn

Koefisien bn dapat dicari menggunakan rumus:

bn = (1/π) ∫_-π^π f(x) sin(nx) dx

Substitusikan f(x) ke dalam rumus:

bn = (1/π) ∫_-π^π x sin(nx) dx

Integralkan dengan menggunakan integrasi per-partes:

bn = (1/π) [(-x cos(nx))|_-π^π + ∫_-π^π cos(nx) dx]

Karena cos(nx) adalah fungsi genap, maka:

bn = 0

3. Hitung Deret Fourier

Deret Fourier dapat dihitung menggunakan rumus:

f(x) = a₀/2 + ∑_n=1^∞ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))

Karena a_n = 0 dan b_n = 0, maka:

f(x) = 0

Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa deret Fourier dari fungsi f(x) adalah 0.

FAQ

1. Apa itu deret Fourier?

Deret Fourier merupakan representasi fungsi periodik tertentu sebagai jumlah atau kombinasi tak hingga sinus dan kosinus.

2. Siapa yang pertama kali memperkenalkan deret Fourier?

Deret Fourier pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier pada tahun 1822.

3. Apa kegunaan deret Fourier dalam matematika?

Deret Fourier sangat berguna dalam menyelesaikan masalah pada bidang matematika terapan seperti fisika, teknik, dan sains.

4. Bagaimana cara menghitung deret Fourier?

Langkah-langkah untuk menghitung deret Fourier adalah mencari koefisien an dan bn, kemudian menghitung deret Fourier dengan menggunakan rumus yang telah ditentukan.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal deret Fourier dan penyelesaiannya. Dari penyelesaian soal tersebut, dapat disimpulkan bahwa deret Fourier dari fungsi f(x) adalah 0. Deret Fourier sangat berguna dalam menyelesaikan masalah pada bidang matematika terapan seperti fisika, teknik, dan sains.

Sekian artikel kali ini, sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya!