Hallo teman-teman semua! Di artikel kali ini, admin akan membahas tentang contoh soal deret konvergen dan divergen. Deret ini sering menjadi bahan pembelajaran di mata kuliah Matematika atau Fisika. Yuk, simak artikel ini sampai habis untuk memperdalam pemahaman kita tentang deret ini!
Apa itu Deret Konvergen dan Divergen?
Sebelum kita masuk ke contoh soal, ada baiknya admin menjelaskan terlebih dahulu apa itu deret konvergen dan divergen. Deret konvergen adalah deret yang pada saat ditambahkan, hasilnya cenderung mendekati suatu bilangan tetap. Sedangkan deret divergen adalah deret yang pada saat ditambahkan, hasilnya tidak cenderung mendekati suatu bilangan tetap.
Contoh Soal Deret Konvergen
Berikut adalah contoh soal deret konvergen:
Soal 1
Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} $$
Langkah-langkah:
- Kita gunakan tes deret p-bandung untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen
- Kita cari nilai p dengan rumus: $$ lim_{n to infty} frac{a_n}{n^p} $$
- Untuk deret ini, nilai a_n = 1/(n^2)
- Kita substitusikan ke rumus: $$ lim_{n to infty} frac{1/n^2}{n^p} = lim_{n to infty} frac{1}{n^{2+p}} $$
- Kita cari nilai p yang membuat limit ini konvergen
- Dengan menyelesaikan persamaan limit, kita dapatkan p = 2
- Karena p > 1, maka deret ini konvergen
Jadi, deret $$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$$ adalah deret konvergen.
Soal 2
Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n} $$
Langkah-langkah:
- Kita gunakan tes rasio untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen
- Kita cari nilai rasio dengan rumus: $$ lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} $$
- Untuk deret ini, nilai a_n = 1/(2^n)
- Kita substitusikan ke rumus: $$ lim_{n to infty} frac{1/2^{n+1}}{1/2^n} = lim_{n to infty} frac{1}{2} $$
- Karena rasio konstan dan lebih besar dari 1, maka deret ini divergen
Jadi, deret $$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n}$$ adalah deret divergen.
Contoh Soal Deret Divergen
Berikut adalah contoh soal deret divergen:
Soal 1
Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:
$$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1} $$
Langkah-langkah:
- Kita gunakan tes deret integral untuk menentukan apakah deret ini konvergen atau divergen
- Kita cari integral tak tentu dengan rumus: $$ int frac{x}{x+1} dx $$
- Kita substitusikan x+1 = u sehingga dx = du
- Kita dapatkan integral baru: $$ int frac{u-1}{u} du = u – ln|u| + C $$
- Kita substitusikan kembali x+1 = u sehingga: $$int frac{x}{x+1} dx = (x+1) – ln|x+1| + C $$
- Kita gunakan tes perbandingan dengan integral untuk membandingkan deret dengan integral tak tentu
- Kita substitusikan nilai a_n = n/(n+1)
- Kita dapatkan integral baru: $$ int frac{n}{n+1} dn = n – ln|n+1| + C $$
- Kita bandingkan integral tak tentu dengan deret: $$ sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1} sim int_{1}^{infty} frac{n}{n+1} dn $$
- Kita dapatkan integral tak tentu: $$ = lim_{b to infty} left[(x – ln|x+1|)right]_1^b = infty $$
- Karena integral tak tentu besarnya tak terhingga, maka deret ini divergen
Jadi, deret $$sum_{n=1}^{infty} frac{n}{n+1}$$ adalah deret divergen.
FAQ
1. Apa beda deret konvergen dan divergen?
Deret konvergen adalah deret yang pada saat ditambahkan, hasilnya cenderung mendekati suatu bilangan tetap. Sedangkan deret divergen adalah deret yang pada saat ditambahkan, hasilnya tidak cenderung mendekati suatu bilangan tetap.
2. Bagaimana cara menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen?
Ada banyak tes yang bisa digunakan untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen, antara lain tes deret integral, tes deret perbandingan, tes deret rasio, dan tes deret p-bandung.
3. Apa yang dimaksud dengan tes deret integral?
Tes deret integral adalah salah satu metode untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen dengan membandingkan deret dengan integral tak tentu.
4. Apa beda tes deret perbandingan dan tes deret rasio?
Tes deret perbandingan dan tes deret rasio sama-sama digunakan untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. Perbedaannya terletak pada rumus yang digunakan. Tes deret perbandingan menggunakan perbandingan antara sebuah deret dengan deret geometri, sedangkan tes deret rasio menggunakan rasio antara suku-suku deret.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, admin telah membahas tentang contoh soal deret konvergen dan divergen. Deret ini sering menjadi bahan pembelajaran di mata kuliah Matematika atau Fisika. Untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen, kita dapat menggunakan berbagai tes, seperti tes deret integral, tes deret perbandingan, tes deret rasio, dan tes deret p-bandung. Semoga artikel ini dapat membantu teman-teman semua memahami materi deret konvergen dan divergen dengan lebih baik. Terima kasih telah membaca artikel ini, sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya!