Hallo teman-teman semua! Kali ini admin akan membahas mengenai contoh soal jarak titik ke bidang beserta penyelesaiannya. Topik ini seringkali muncul dalam mata pelajaran matematika, terutama pada pelajaran geometri. Yuk, simak penjelasannya di bawah ini.
Apa itu Jarak Titik ke Bidang?
Sebelum membahas contoh soal, ada baiknya kita mengetahui terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan jarak titik ke bidang. Jarak titik ke bidang adalah jarak terpendek antara suatu titik dengan bidang tertentu.
Contoh Soal Jarak Titik ke Bidang
Berikut ini adalah contoh soal jarak titik ke bidang beserta penyelesaiannya:
Contoh Soal 1
Tentukan jarak titik P(1, 2, 3) ke bidang 2x + y – z = 4.
Penyelesaian
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan vektor normal bidang. Dalam hal ini, vektor normal bidang adalah 2i + j – k. Selanjutnya, tentukan persamaan garis yang melalui titik P dan sejajar dengan vektor normal bidang. Maka, persamaan garisnya adalah:
x = 1 + 2t
y = 2 + t
z = 3 – t
Selanjutnya, cari titik potong garis dengan bidang. Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang, maka didapatkan:
2(1 + 2t) + (2 + t) – (3 – t) = 4
4t + 2 = 0
t = -1/2
Substitusikan nilai t ke dalam persamaan garis, maka didapatkan titik potong garis dengan bidang yaitu:
x = 1 – 1 = 0
y = 2 – 1/2 = 3/2
z = 3 + 1/2 = 7/2
Jarak titik P ke bidang dapat dihitung dengan menghitung jarak antara titik P dan titik potong garis dengan bidang, yaitu:
d = √[(1-0)² + (2-3/2)² + (3-7/2)²] = √11/2
Jadi, jarak titik P(1, 2, 3) ke bidang 2x + y – z = 4 adalah √11/2.
Contoh Soal 2
Tentukan jarak titik Q(2, 1, 4) ke bidang x + y + z = 5.
Penyelesaian
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan vektor normal bidang. Dalam hal ini, vektor normal bidang adalah i + j + k. Selanjutnya, tentukan persamaan garis yang melalui titik Q dan sejajar dengan vektor normal bidang. Maka, persamaan garisnya adalah:
x = 2 + t
y = 1 + t
z = 4 + t
Selanjutnya, cari titik potong garis dengan bidang. Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang, maka didapatkan:
(2 + t) + (1 + t) + (4 + t) = 5
t = -2
Substitusikan nilai t ke dalam persamaan garis, maka didapatkan titik potong garis dengan bidang yaitu:
x = 0
y = -1
z = 2
Jarak titik Q ke bidang dapat dihitung dengan menghitung jarak antara titik Q dan titik potong garis dengan bidang, yaitu:
d = √[(2-0)² + (1-(-1))² + (4-2)²] = √18
Jadi, jarak titik Q(2, 1, 4) ke bidang x + y + z = 5 adalah √18.
Tips dalam Menyelesaikan Soal Jarak Titik ke Bidang
Berikut ini adalah beberapa tips dalam menyelesaikan soal jarak titik ke bidang:
- Periksa terlebih dahulu vektor normal bidang, karena vektor ini sangat penting dalam menyelesaikan soal jarak titik ke bidang.
- Tentukan persamaan garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar dengan vektor normal bidang.
- Cari titik potong garis dengan bidang dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang.
- Hitung jarak antara titik yang diberikan dengan titik potong garis dengan bidang.
FAQ
1. Apakah jarak titik ke bidang selalu ada?
Ya, jarak titik ke bidang selalu ada. Namun, dalam kasus tertentu, jarak tersebut bisa menjadi tak hingga atau nol.
2. Apakah vektor normal bidang selalu sama?
Tidak, vektor normal bidang bergantung pada persamaan bidang yang diberikan.
3. Apakah titik potong garis dengan bidang selalu ada?
Tidak selalu ada. Ada beberapa kasus di mana garis tersebut sejajar atau berada di dalam bidang sehingga tidak ada titik potong.
4. Apakah jarak titik ke bidang bisa lebih dari satu?
Tidak, jarak titik ke bidang hanya satu dan merupakan jarak terpendek antara titik dan bidang.
Kesimpulan
Dalam menyelesaikan soal jarak titik ke bidang, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan vektor normal bidang. Selanjutnya, tentukan persamaan garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar dengan vektor normal bidang. Cari titik potong garis dengan bidang dengan mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan bidang dan hitung jarak antara titik yang diberikan dengan titik potong garis dengan bidang. Dengan memahami langkah-langkah tersebut, diharapkan teman-teman semua dapat menyelesaikan soal jarak titik ke bidang dengan mudah. Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya!