Contoh Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Hallo teman-teman semua! Kalian pasti sudah tidak asing lagi dengan persamaan dan fungsi kuadrat, bukan? Kedua hal ini merupakan topik matematika yang sering dibahas di sekolah. Namun, tidak sedikit pula yang masih bingung dengan konsepnya. Oleh karena itu, pada artikel kali ini, admin akan membahas contoh soal persamaan dan fungsi kuadrat secara lengkap dan mudah dipahami. Yuk, simak artikel ini sampai selesai!

Pengertian Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan persamaan dengan bentuk umum ax² + bx + c = 0. Sedangkan fungsi kuadrat adalah fungsi dengan bentuk umum f(x) = ax² + bx + c. Persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat memiliki bentuk yang sama, yaitu memiliki variabel x dengan pangkat dua (kuadrat) sebagai variabel utama. Namun, perbedaannya terletak pada fungsinya. Persamaan kuadrat digunakan untuk mencari nilai x saat persamaan tersebut sama dengan nol, sedangkan fungsi kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel x dan y.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta cara penyelesaiannya:

Contoh Soal 1

Diketahui persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0, carilah nilai x!

Penyelesaian:

Pertama-tama, kita mencari faktor dari koefisien a, b, dan c. Dalam contoh ini, a = 1, b = -5, dan c = 6. Faktor dari a, b, dan c adalah:

a = 1, b = -5, c = 6

a x c = 1 x 6 = 6

Dua faktor dari 6 yang jika dijumlahkan menghasilkan -5 adalah -2 dan -3. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan persamaan kuadrat tersebut menjadi:

x² – 5x + 6 = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Maka, nilai x dapat kita cari dengan mengasumsikan (x – 2) = 0 atau (x – 3) = 0. Sehingga, kita dapatkan:

x = 2 atau x = 3

Jadi, nilai x dari persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0 adalah 2 atau 3.

Contoh Soal 2

Sebuah benda dilemparkan ke udara dengan kecepatan awal 20 m/s dan membentuk sudut 60° terhadap horizontal. Jika gravitasi bumi dinyatakan sebagai -9,8 m/s², tentukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh benda tersebut!

Penyelesaian:

Dalam masalah ini, kita perlu menggunakan persamaan kuadrat untuk mencari ketinggian benda maksimum. Pertama-tama, kita dapat mencari waktu t yang diperlukan benda untuk mencapai ketinggian maksimum. Persamaan yang digunakan adalah:

vy = v0y + at

vy = 0 karena kecepatan vertikal saat mencapai ketinggian maksimum adalah 0.

v0y = v0 sin θ = 20 sin 60° = 17,32 m/s

a = g = -9,8 m/s²

Maka, persamaan menjadi:

0 = 17,32 – 9,8t

Jadi, t = 1,77 detik.

Selanjutnya, kita dapat mencari ketinggian maksimum menggunakan persamaan:

y = v0y t + 1/2 at²

y = 17,32 x 1,77 + 1/2 x (-9,8) x (1,77)²

y = 30,03 meter

Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh benda tersebut adalah 30,03 meter.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

Berikut ini adalah beberapa contoh soal fungsi kuadrat beserta cara penyelesaiannya:

Contoh Soal 1

Sebuah perusahaan rental mobil menawarkan tarif sebesar 200.000 rupiah untuk penyewaan mobil selama 12 jam atau kurang, ditambah tarif 25.000 rupiah per jam untuk setiap jam tambahan. Jika x menunjukkan jumlah jam sewa mobil, rumuskanlah fungsi kuadrat untuk menghitung biaya sewa mobil tersebut!

Penyelesaian:

Kita dapat merumuskan fungsi kuadrat dari masalah ini dengan menggunakan bentuk umum f(x) = ax² + bx + c. Dalam hal ini, a = 25.000, b = 200.000, dan c = 0, karena biaya sewa mobil tidak ada yang gratis. Maka, fungsi kuadrat yang dapat kita gunakan adalah:

f(x) = 25.000x² + 200.000

Sehingga, jika kita ingin mengetahui biaya sewa mobil selama 15 jam, maka nilai x dapat kita asumsikan sebagai 15. Maka, biaya sewa mobil selama 15 jam adalah:

f(15) = 25.000 x 15² + 200.000 = 612.500 rupiah

Jadi, biaya sewa mobil selama 15 jam adalah 612.500 rupiah.

Contoh Soal 2

Seorang petani memiliki lahan seluas 500 m² dan ingin membuat kolam ikan dengan bentuk persegi panjang. Jika panjang kolam ikan adalah tiga kali lebar kolam ikan, tentukan ukuran kolam ikan agar volume air yang dibutuhkan paling sedikit!

Penyelesaian:

Dalam masalah ini, kita perlu mencari ukuran kolam ikan agar volume air yang dibutuhkan paling sedikit. Volume air pada kolam ikan dapat kita hitung dengan menggunakan rumus V = panjang x lebar x tinggi. Karena di sini kita ingin mencari volume air yang paling sedikit, maka kita dapat meminimalkan rumus tersebut dengan cara mencari turunan dari V terhadap lebar l, kemudian mencari nilai l saat turunan tersebut sama dengan nol. Dalam hal ini, panjang kolam ikan adalah 3l.

Pertama-tama, kita dapat menyusun rumus volume air sebagai berikut:

V = 3l x l x h

V = 3l²h

Selanjutnya, kita dapat menyusun rumus luas lahan sebagai berikut:

A = 3lh + 2lh

A = 5lh

Karena panjang lahan tetap, yaitu 500 m², maka luas lahan dapat kita tulis sebagai:

l x 3l = 500

Sehingga, kita dapat mencari nilai l sebagai:

l = 10 meter

Dalam hal ini, rumus volume air menjadi:

V = 3 x 10² x h

V = 300h

Karena kita ingin mencari volume air yang paling sedikit, maka kita dapat mencari nilai h saat turunan dari V terhadap h sama dengan nol. Dalam hal ini, turunan dari V terhadap h adalah:

V’ = 300

Maka, nilai h yang membuat volume air paling sedikit adalah 0. Sehingga, tidak ada volume air yang dibutuhkan.

FAQ

1. Apa perbedaan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat?

Persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat memiliki bentuk yang sama, yaitu memiliki variabel x dengan pangkat dua (kuadrat) sebagai variabel utama. Namun, perbedaannya terletak pada fungsinya. Persamaan kuadrat digunakan untuk mencari nilai x saat persamaan tersebut sama dengan nol, sedangkan fungsi kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel x dan y.

2. Apa saja contoh soal persamaan kuadrat?

Beberapa contoh soal persamaan kuadrat adalah:

• x² – 5x + 6 = 0
• 2x² + 3x – 2 = 0
• 4x² – 12x + 9 = 0

3. Apa saja contoh soal fungsi kuadrat?

Beberapa contoh soal fungsi kuadrat adalah:

• Sebuah perusahaan rental mobil menawarkan tarif sebesar 200.000 rupiah untuk penyewaan mobil selama 12 jam atau kurang, ditambah tarif 25.000 rupiah per jam untuk setiap jam tambahan. Jika x menunjukkan jumlah jam sewa mobil, rumuskanlah fungsi kuadrat untuk menghitung biaya sewa mobil tersebut!
• Seorang petani memiliki lahan seluas 500 m² dan ingin membuat kolam ikan dengan bentuk persegi panjang. Jika panjang kolam ikan adalah tiga kali lebar kolam ikan, tentukan ukuran kolam ikan agar volume air yang dibutuhkan paling sedikit!

4. Apa manfaat dari belajar persamaan dan fungsi kuadrat?

Belajar persamaan dan fungsi kuadrat sangat berguna bagi kita dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika maupun kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memodelkan hubungan antara variabel x dan y, mencari titik potong antara kurva, menemukan nilai maksimum atau minimum, dan masih banyak lagi.

Jangan lupa untuk terus belajar dan berlatih, ya! Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya.